Ensembles finis Exemples

$\frac{7}{x^{2} - 8 x + 15} + \frac{2}{x^{2} - 3 x}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{2}{x^{2} - 3 x}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{2}{x \cdot x - 3 x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{2}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} + \frac{2}{x (x - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{7}{(x - 5) (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{x (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x - 3)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 5) (x - 3) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{7}{(x - 5) (x - 3)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 x}{(x - 5) (x - 3) x} + \frac{2}{x (x - 3)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{x (x - 3)}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{7 x}{(x - 5) (x - 3) x} + \frac{2 (x - 5)}{x (x - 3) (x - 5)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) (x - 3) x$ .

$\frac{7 x}{x (x - 3) (x - 5)} + \frac{2 (x - 5)}{x (x - 3) (x - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x + 2 (x - 5)}{x (x - 3) (x - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{x (x - 3) (x - 5)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{7 x + 2 x - 10}{x (x - 3) (x - 5)}$

Étape 6.3

Additionnez $7 x$ et $2 x$ .

$\frac{9 x - 10}{x (x - 3) (x - 5)}$