Ensembles finis Exemples

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 16 = - 112$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 (x) - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $8$ plus $- 14$

$\frac{6 x}{7 x^{2} + (8 - 14) x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x}{7 x^{2} + 8 x - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{6 x}{(7 x^{2} + 8 x) - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{6 x}{x (7 x + 8) - 2 (7 x + 8)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x + 8$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 + 2}$

Étape 1.2

Additionnez $- 15$ et $2$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13} \cdot \frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ par $\frac{7 x^{2} - 13}{7 x^{2} - 13}$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 13} \cdot \frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5 x}{7 x^{2} - 13}$ par $\frac{(7 x + 8) (x - 2)}{(7 x + 8) (x - 2)}$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(7 x + 8) (x - 2) (7 x^{2} - 13)$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(7 x^{2} - 13) ((7 x + 8) (x - 2))$ .

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)} - \frac{5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x (7 x^{2} - 13) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x (7 x^{2} - 13) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x (7 x^{2} - 13)$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13)) - 5 x ((7 x + 8) (x - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x ((7 x + 8) (x - 2))$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13)) + x (- 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (6 (7 x^{2} - 13)) + x (- 5 ((7 x + 8) (x - 2)))$ .

$\frac{x (6 (7 x^{2} - 13) - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 13 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{x (42 x^{2} + 6 \cdot - 13 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $6$ par $- 13$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 ((7 x + 8) (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.5

Développez $(7 x + 8) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x (x - 2) + 8 (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 8 (x - 2)))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} + 7 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 14 x + 8 x + 8 \cdot - 2))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 14 x + 8 x - 16))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.6.2

Additionnez $- 14 x$ et $8 x$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2} - 6 x - 16))}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 5 (7 x^{2}) - 5 (- 6 x) - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} - 5 (- 6 x) - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.8.2

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} + 30 x - 5 \cdot - 16)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.8.3

Multipliez $- 5$ par $- 16$ .

$\frac{x (42 x^{2} - 78 - 35 x^{2} + 30 x + 80)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.9

Soustrayez $35 x^{2}$ de $42 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x^{2} - 78 + 30 x + 80)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 78$ et $80$ .

$\frac{x (7 x^{2} + 30 x + 2)}{(7 x + 8) (7 x^{2} - 13) (x - 2)}$