Ensembles finis Exemples

$\frac{6 - 3 x}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Factorisez $3$ à partir de $6 - 3 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2) - 3 x}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (2) + 3 (- x)}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2) + 3 (- x)$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x + 6 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1) + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1) + 6 x (x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (1) + 6 x (x)$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $3$ plus $- 5$

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x^{2} - 4}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x (1 + x)$ .

$\frac{3 (2 - x)}{3 (2 x (1 + x))} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 - x)}{3 (2 x (1 + x))} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - x}{2 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 6

Multipliez $\frac{2 - x}{2 x (1 + x)}$ par $\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{(2 - x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et $x - 2$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- 1 (- 2) - x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- 1 (- 2) - (x)) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 2) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 2) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) (x + 2)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et $1 + x$ .

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Étape 8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (x + 1) (x + 2)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (x + 1) (x + 2)}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (3 x - 5)}{2 x (x + 2)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 5}{2 x (x + 2)}$