Ensembles finis Exemples

$\frac{6}{x - 4} + \frac{x - 5}{x - 3}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{6}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{6}{x - 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 5}{x - 3}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 5}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6}{x - 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{6}{x - 4}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{6 (x - 3)}{(x - 4) (x - 3)} + \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{x - 5}{x - 3}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6 (x - 3)}{(x - 4) (x - 3)} + \frac{(x - 5) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{6 (x - 3)}{(x - 3) (x - 4)} + \frac{(x - 5) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x - 3) + (x - 5) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 6 \cdot - 3 + (x - 5) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{6 x - 18 + (x - 5) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.3

Développez $(x - 5) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 18 + x (x - 4) - 5 (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 18 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 5 (x - 4)}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x - 18 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x - 18 + x^{2} + x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.4.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 x - 18 + x^{2} - 4 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 4}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$\frac{6 x - 18 + x^{2} - 4 x - 5 x + 20}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $5 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{6 x - 18 + x^{2} - 9 x + 20}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.5

Soustrayez $9 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 3 x - 18 + x^{2} + 20}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.6

Additionnez $- 18$ et $20$ .

$\frac{- 3 x + x^{2} + 2}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 3) (x - 4)}$

Étape 5.8

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 5.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x - 3) (x - 4)}$