Ensembles finis Exemples

\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.2

Pour un polynôme de la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50

$a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ et dont la somme est

b = 23

$b = 23$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Factorisez

23

$23$ à partir de

23 x^{2}

$23 x^{2}$ .

\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.2.2

Réécrivez

23

$23$ comme

- 2

$- 2$ plus

25

$25$

\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

- x^{2} - 2

$- x^{2} - 2$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.2

Réécrivez

25

$25$ comme

5^{2}

$5^{2}$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = x

$a = x$ et

b = 5

$b = 5$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

Étape 1.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

x - 5

$x - 5$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

Étape 2.2

Réécrivez

2

$2$ comme

- 1 (- 2)

$- 1 (- 2)$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

Étape 2.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)

$- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Étape 3

Pour écrire

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{- 1}{- 1}

$\frac{- 1}{- 1}$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Étape 4

Pour écrire

- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{x + 5}{x + 5}

$\frac{x + 5}{x + 5}$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

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Étape 5.1

Multipliez

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ par

\frac{- 1}{- 1}

$\frac{- 1}{- 1}$ .

\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Étape 5.2

Multipliez

\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ par

\frac{x + 5}{x + 5}

$\frac{x + 5}{x + 5}$ .

\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de

(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ .

\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Étape 5.4

Réorganisez les facteurs de

(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)

$(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ .

\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez

- 3

$- 3$ à partir de

6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)

$6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ .

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Étape 7.1.1

Remettez dans l’ordre

6 \cdot - 1

$6 \cdot - 1$ et

- 3 (x + 5)

$- 3 (x + 5)$ .

\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7.1.2

Factorisez

- 3

$- 3$ à partir de

6 \cdot - 1

$6 \cdot - 1$ .

\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7.1.3

Factorisez

- 3

$- 3$ à partir de

- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)

$- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ .

\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7.3

Additionnez

5

$5$ et

2

$2$ .

\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

Étape 8.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- x^{2}

$- x^{2}$ .

\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 8.3

Réécrivez

- 2

$- 2$ comme

- 1 (2)

$- 1 (2)$ .

\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 8.4

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (x^{2}) - 1 (2)

$- (x^{2}) - 1 (2)$ .

\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 8.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 8.5.1

Réécrivez

- (x^{2} + 2)

$- (x^{2} + 2)$ comme

- 1 (x^{2} + 2)

$- 1 (x^{2} + 2)$ .

\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 8.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$

- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$

- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$