Ensembles finis Exemples

$\frac{4 a}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{a^{2} - 5 a + 6}$

Étape 1

Factorisez $a^{2} - 5 a + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 a}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4 a}{a - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4 a}{a - 2} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3 a}{a - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{4 a}{a - 2} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{3 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 2) (a - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4 a}{a - 2}$ par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 a}{a - 3}$ par $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a (a - 2)}{(a - 3) (a - 2)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 3) (a - 2)$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 a (a - 3) - 3 a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 a (a - 3) - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 a \cdot a + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{4 (a \cdot a) + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{4 a^{2} + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a \cdot a - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $a$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 (a \cdot a) - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a^{2} - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a^{2} + 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Soustrayez $3 a^{2}$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 12 a + 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.2

Additionnez $- 12 a$ et $6 a$ .

$\frac{a^{2} - 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.3

Additionnez $- 6 a$ et $4 a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.4

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} - 2 a$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a - 2 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.4.2

Factorisez $a$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 2}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.4.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a + a \cdot - 2$ .

$\frac{a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $a - 2$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{a - 3}$