Ensembles finis Exemples

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 6 n^{2} + 13 m n} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $6 n^{2}$ et $13 m n$ .

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $13$ à partir de $13 m n$ .

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $13$ comme $4$ plus $9$

$\frac{3 m}{6 m^{2} + (4 + 9) (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 (m n) + 9 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 m n + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 m}{(6 m^{2} + 4 m n) + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 m}{2 m (3 m + 2 n) + 3 n (3 m + 2 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 m + 2 n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 1.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 3 n^{2} + 8 m n}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $3 n^{2}$ et $8 m n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 m n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 (m n) + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez $8$ comme $2$ plus $6$

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + (2 + 6) (m n) + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 (m n) + 6 (m n) + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 m n + 6 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(4 m^{2} + 2 m n) + 6 m n + 3 n^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{2 m (2 m + n) + 3 n (2 m + n)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 m + n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ par $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ par $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $m$ à partir de $3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $m$ à partir de $3 m (2 m + n)$ .

$\frac{m (3 (2 m + n)) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $m$ à partir de $2 m (3 m + 2 n)$ .

$\frac{m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $m$ à partir de $m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))$ .

$\frac{m (3 (2 m + n) + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{m (3 (2 m) + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m) + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.7

Additionnez $6 m$ et $6 m$ .

$\frac{m (12 m + 3 n + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Étape 6.8

Additionnez $3 n$ et $4 n$ .

$\frac{m (12 m + 7 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$