Ensembles finis Exemples

$\frac{3}{x^{2} - x - 20} + \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} + \frac{2}{x^{2} + 3 x - 4}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{(x - 5) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 5) (x + 4) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{(x - 5) (x + 4)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x - 5) (x + 4) (x - 1)} + \frac{2}{(x - 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{(x - 1) (x + 4)}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x - 5) (x + 4) (x - 1)} + \frac{2 (x - 5)}{(x - 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) (x + 4) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)} + \frac{2 (x - 5)}{(x - 1) (x + 4) (x - 5)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 4) (x - 5)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)} + \frac{2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 1) + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x - 3 + 2 (x - 5)}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 3 + 2 x + 2 \cdot - 5}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{3 x - 3 + 2 x - 10}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6.5

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$\frac{5 x - 3 - 10}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$

Étape 6.6

Soustrayez $10$ de $- 3$ .

$\frac{5 x - 13}{(x + 4) (x - 1) (x - 5)}$