Ensembles finis Exemples

$\frac{3 x^{3} - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} - 81$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3}) - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 81$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 27}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} + 3 \cdot - 27$ .

$\frac{3 (x^{3} - 27)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3} - 3^{3})}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 8 x - 60$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 4 (2 x) - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (2 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x - 15)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 ((x - 3) (x + 5))} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 16$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x) + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 2}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 3.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Étape 3.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 18 x + 54$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 18 x + 54}$

Étape 3.2.2

Factorisez $6$ à partir de $18 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 54}$

Étape 3.2.3

Factorisez $6$ à partir de $54$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 9}$

Étape 3.2.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9}$

Étape 3.2.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x + 9)}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{(4 (x + 5)) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 3 x + 9$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 (x + 2)}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8 (x + 2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $(4 (x + 5)) \cdot (2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot (2)}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot 2}$

Étape 3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x + 5}$