Ensembles finis Exemples

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{9}{2 t + 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{5}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{9}{2 t + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $t (2 t + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{5}{t}$ par $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{9}{2 t + 1}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 t + 1) t$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 2.5.4

Soustrayez $9 t$ de $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 5$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 t = - 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$t (2 t + 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $t$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 9.2.3

Définissez $2 t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $2 t + 1$ égal à $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Résolvez $2 t + 1 = 0$ pour $t$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 t = - 1$

Étape 9.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 t = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{1}{2}$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (2 t + 1) = 0$ vraie.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $t < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $t$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.625$ est inférieur au côté droit $- 0.6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = - 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $t$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 1.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1.8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < t < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < t < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = - 0.25$

Étape 11.3.2

Remplacez $t$ par $- 0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $t > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 2$

Étape 11.4.2

Remplacez $t$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $2.5$ n’est pas inférieur au côté droit $1.8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$t < - 5$ Vrai

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Vrai

$t > 0$ Faux

$t < - 5$ Vrai

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Vrai

$t > 0$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$t < - 5$ ou $- \frac{1}{2} < t < 0$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

Étape 14