Ensembles finis Exemples

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ comme

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez

${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez

${(x + 2)}^{2}$ comme

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Développez

$(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez

$2$ à gauche de

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez

$2 x$ et

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Étape 4

Résolvez

$x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez de sorte que

$x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant

$x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 4.2.1

Ajoutez

$x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Étape 4.2.2

Additionnez

$x^{2}$ et

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Étape 4.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Étape 4.4

Soustrayez

$10$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Étape 4.5

Soustrayez

$10$ de

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Étape 4.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.6.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Étape 4.6.1.2

Factorisez

$2$ à partir de

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Étape 4.6.1.3

Factorisez

$2$ à partir de

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.6.1.4

Factorisez

$2$ à partir de

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Étape 4.6.1.5

Factorisez

$2$ à partir de

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 4.6.2

Factorisez.

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Étape 4.6.2.1

Factorisez

$x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.2.1.1

Étudiez la forme

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

$c$ et dont la somme est

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

$- 3$ et dont la somme est

$2$ .

$- 1, 3$

Étape 4.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 4.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 4.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4.8

Définissez

$x - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez

$x - 1$ égal à

$0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.9

Définissez

$x + 3$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez

$x + 3$ égal à

$0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.9.2

Soustrayez

$3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 5

Déterminez le domaine de

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans

$\sqrt{10 - x^{2}}$ supérieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$10 - x^{2} \geq 0$

Étape 5.2

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez

$10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 10$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans

$- x^{2} \geq - 10$ par

$- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$- x^{2} \geq - 10$ par

$- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Divisez

$- 10$ par

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Étape 5.2.5

Écrivez

$| x | \leq \sqrt{10}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 5.2.5.2

Dans la partie où

$x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{10}$

Étape 5.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 5.2.5.4

Dans la partie où

$x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Étape 5.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 5.2.6

Déterminez l’intersection de

$x \leq \sqrt{10}$ et

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 5.2.7

Résolvez

$- x \leq \sqrt{10}$ quand

$x < 0$ .

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Étape 5.2.7.1

Divisez chaque terme dans

$- x \leq \sqrt{10}$ par

$- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans

$- x \leq \sqrt{10}$ par

$- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 5.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 5.2.7.1.2.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Étape 5.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Étape 5.2.7.1.3.2

Réécrivez

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ comme

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Étape 5.2.7.2

Déterminez l’intersection de

$x \geq - \sqrt{10}$ et

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Étape 5.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle

$x < - \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x < - \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 7.1.2

Remplacez

$x$ par

$- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle

$- \sqrt{10} < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$- \sqrt{10} < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3.08$

Étape 7.2.2

Remplacez

$x$ par

$- 3.08$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche

$- 1.08$ n’est pas supérieur au côté droit

$0.71665891$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle

$- 3 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$- 3 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.3.2

Remplacez

$x$ par

$0$ dans l’inégalité d’origine.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche

$2$ n’est pas supérieur au côté droit

$3.16227766$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle

$1 < x < \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$1 < x < \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.4.2

Remplacez

$x$ par

$2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Étape 7.4.3

Le côté gauche

$4$ est supérieur au côté droit

$2.44948974$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.5

Testez une valeur sur l’intervalle

$x > \sqrt{10}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x > \sqrt{10}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.5.2

Remplacez

$x$ par

$6$ dans l’inégalité d’origine.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Étape 7.5.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{10}$ Faux

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 1$ Faux

$1 < x < \sqrt{10}$ Vrai

$x > \sqrt{10}$ Faux

$x < - \sqrt{10}$ Faux

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 1$ Faux

$1 < x < \sqrt{10}$ Vrai

$x > \sqrt{10}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 < x < \sqrt{10}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$1 < x < \sqrt{10}$

Notation d’intervalle :

$(1, \sqrt{10})$

Étape 10