Ensembles finis Exemples

$3 x^{2} - 5 x < 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 5 x = 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $1$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (1 - 6) x - 2 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + x) - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 < 2$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $42$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 < 2$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 < 2$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $28$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{1}{3}, 2)$

Étape 12