Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2 > 0$

Étape 1

Simplifiez $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 1 + 2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

Étape 1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} > 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x + 1 + 2 x - 2}{x - 1} > 0$

Étape 1.3.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} > 0$

Étape 1.3.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x - 1} > 0$

Étape 2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{3}$

$x = 1$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 1}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 1} + 2 > 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.67$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0.67$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0.67) + 1}{(0.67) - 1} + 2 > 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 3.\overline{06}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 1}{(4) - 1} + 2 > 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $3.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{1}{3}$ ou $x > 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{1}{3} or x > 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$

Étape 13