Ensembles finis Exemples

$x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$1 - 3 x = 0$

$5 x + 2 = 0$

Étape 2

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Définissez $1 - 3 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $1 - 3 x$ égal à $0$ .

$1 - 3 x = 0$

Étape 3.2

Résolvez $1 - 3 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 4

Définissez $5 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $5 x + 2$ égal à $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{4} (1 - 3 \cdot - 3) (5 (- 3) + 2) > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 10530$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{5} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{5} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.2$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 0.2)}^{4} (1 - 3 \cdot - 0.2) (5 (- 0.2) + 2) > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $0.00256$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.17$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $0.17$ dans l’inégalité d’origine.

${(0.17)}^{4} (1 - 3 \cdot 0.17) (5 (0.17) + 2) > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $0.00116637$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{4} (1 - 3 \cdot 3) (5 (3) + 2) > 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $- 11016$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{2}{5}$ Faux

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$x > \frac{1}{3}$ Faux

$x < - \frac{2}{5}$ Faux

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{3}$ Vrai

$x > \frac{1}{3}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{2}{5} < x < 0$ ou $0 < x < \frac{1}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{2}{5} < x < 0 or 0 < x < \frac{1}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{2}{5}, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$

Étape 10