Ensembles finis Exemples

$\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{3}{5 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1}{6 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $30 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{3}{5 x}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{5 x \cdot 6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Étape 1.3.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{1}{6 x}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{6 x \cdot 5} > \frac{2}{3}$

Étape 1.3.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 6 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{18 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Étape 1.5.2

Additionnez $18$ et $5$ .

$\frac{23}{30 x} > \frac{2}{3}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $30 x$ .

$\frac{23}{30 x} (30 x) = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{23}{30 x} (30 x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $30$ à partir de $30 x$ .

$30 \frac{23}{30 (x)} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$23 = \frac{2}{3} (30 x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (30 x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x$ .

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$23 = 2 (10 x)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$23 = 20 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $20 x = 23$ .

$20 x = 23$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $20 x = 23$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $20 x = 23$ par $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{23}{20}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{23}{30 x} - \frac{2}{3}$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{23}{30 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$30 x = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $30 x = 0$ par $30$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $30 x = 0$ par $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{30}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $30$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{23}{20}$

$x > \frac{23}{20}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{5 (- 2)} + \frac{1}{6 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 0.38\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{23}{20}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{23}{20}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{5 (1)} + \frac{1}{6 (1)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $0.7\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{23}{20}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{23}{20}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{5 (4)} + \frac{1}{6 (4)} > \frac{2}{3}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $0.191\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{23}{20}$ Vrai

$x > \frac{23}{20}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{23}{20}$ Vrai

$x > \frac{23}{20}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{23}{20}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < \frac{23}{20}$

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{23}{20})$

Étape 10