Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2

Additionnez $- 7$ et $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Étape 3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 4$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 4$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$x^{2} = 2$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 7

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 8

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Étape 12

Déterminez le domaine de $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 12.2.2

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 12.2.2.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.2.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2.2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 12.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{259}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2} < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2} < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.21$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.21$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $0.49531832$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \sqrt{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \sqrt{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\sqrt{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\sqrt{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.71$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $1.71$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $8.10930582$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $1.4$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{2}$ Vrai

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Vrai

$\sqrt{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Faux

$x < - \sqrt{2}$ Vrai

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Vrai

$\sqrt{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \sqrt{2}$ ou $- 1 < x < \sqrt{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Étape 17