Ensembles finis Exemples

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Étape 1

Écrivez $| \frac{1}{8} - x | < 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $\frac{1}{8}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - \frac{1}{8}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - \frac{1}{8}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Étape 1.2.2.3.2

Divisez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$x \leq \frac{1}{8}$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{1}{8} - x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{1}{8} - x < 3$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{1}{8} - x < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $\frac{1}{8}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < - \frac{1}{8}$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $- x < - \frac{1}{8}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < - \frac{1}{8}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Étape 1.5.2.3.2

Divisez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$x > \frac{1}{8}$

Étape 1.6

Dans la partie où $\frac{1}{8} - x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\frac{1}{8} - x < 3$ quand $x \leq \frac{1}{8}$ .

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{1}{8} - x < 3$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Soustrayez $\frac{1}{8}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Étape 2.1.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Étape 2.1.1.3

Associez $3$ et $\frac{8}{8}$ .

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Étape 2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.5.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Étape 2.1.1.5.2

Soustrayez $1$ de $24$ .

$- x < \frac{23}{8}$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $- x < \frac{23}{8}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < \frac{23}{8}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Étape 2.1.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{23}{8}$ comme $- \frac{23}{8}$ .

$x > - \frac{23}{8}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x > - \frac{23}{8}$ et $x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Étape 3

Résolvez $- \frac{1}{8} + x < 3$ quand $x > \frac{1}{8}$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $\frac{1}{8}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 3.1.3

Associez $3$ et $\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $24$ et $1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{25}{8}$ et $x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Étape 6