Ensembles finis Exemples

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Étape 1

Associez les fractions.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{x}{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{5 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{x}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{x}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $30$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{x}{6}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Étape 3.4.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{x}{15}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{10}$

Étape 3.4.4

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Étape 3.6

Pour écrire $\frac{x^{2}}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Étape 3.7

Pour écrire $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Étape 3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $90$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{9}$ par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Étape 3.8.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Étape 3.8.3

Multipliez $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{30 \cdot 3} - \frac{1}{10}$

Étape 3.8.4

Multipliez $30$ par $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 10 + (- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Étape 3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90} - \frac{1}{10}$

Étape 3.11

Associez $\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90}$ et $- \frac{1}{10}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 3.11.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10}$

Étape 3.11.2

Pour écrire $- \frac{1}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.11.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $90$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.11.3.1

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{10 \cdot 9}$

Étape 3.11.3.2

Multipliez $10$ par $9$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{90}$

Étape 3.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x) - 9}{90}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 5 x + 2 x) - 9}{90}$

Étape 4.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 3 x) - 9}{90}$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 x - 9}{90}$

Étape 4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 10 \cdot - 9 = - 90$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 (x) - 9}{90}$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $6$ plus $- 15$

$\frac{10 x^{2} + (6 - 15) x - 9}{90}$

Étape 4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} + 6 x - 15 x - 9}{90}$

Étape 4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(10 x^{2} + 6 x) - 15 x - 9}{90}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (5 x + 3) - 3 (5 x + 3)}{90}$

Étape 4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (2 x - 3)}{90}$