Ensembles finis Exemples

$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) (x y)}{x + y}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x}) x y}{x + y}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{x y} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y}$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{1 + 1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5.5

Réécrivez $y \cdot y$ comme $y^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y)}{x y} x y}{x + y}$

Étape 1.6

Associez les exposants.

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Étape 1.6.1

Associez $\frac{(x + y) (x - y)}{x y}$ et $x$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x}{x y} y}{x + y}$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{(x + y) (x - y) x}{x y}$ et $y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Étape 1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Étape 1.8.2

Divisez $(x + y) (x - y)$ par $1$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Étape 1.9

Développez $(x + y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - y) + y (x - y)}{x + y}$

Étape 1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y (x - y)}{x + y}$

Étape 1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)}{x + y}$

Étape 1.10

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)$ .

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Étape 1.10.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (- y)$ et $y x$ .

$\frac{x \cdot x - x y + x y + y (- y)}{x + y}$

Étape 1.10.2

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + y (- y)}{x + y}$

Étape 1.10.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot x + y (- y)}{x + y}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + y (- y)}{x + y}$

Étape 1.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - y \cdot y}{x + y}$

Étape 1.11.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.11.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} - (y \cdot y)}{x + y}$

Étape 1.11.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$

Étape 1.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Étape 2.2

Divisez $x - y$ par $1$ .

$x - y$