Ensembles finis Exemples

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) (\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x y} + \sqrt[3]{y^{2}})$

Étape 1

Développez $(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) (\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x y} + \sqrt[3]{y^{2}})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x^{2}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[3]{x \cdot x^{2}} + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[3]{x^{1} x^{2}} + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[3]{x^{1 + 2}} + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt[3]{x^{3}} + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x + \sqrt[3]{x} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x - \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x y} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x y}$ .

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Étape 2.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \sqrt[3]{x y x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{1} x y} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{1} x^{1} y} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - \sqrt[3]{x^{1 + 1} y} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} + \sqrt[3]{y} (- \sqrt[3]{x y}) + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x y} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{x y}$ .

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Étape 2.1.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y \cdot y} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.8.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x (y^{1} y)} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.8.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x (y^{1} y^{1})} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{1 + 1}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$

Étape 2.1.9

Multipliez $\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{y^{2}}$ .

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Étape 2.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y \cdot y^{2}}$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.9.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.1.9.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y^{1} y^{2}}$

Étape 2.1.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y^{1 + 2}}$

Étape 2.1.9.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y^{3}}$

Étape 2.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + y$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x y^{2}} + \sqrt[3]{y x^{2}} - \sqrt[3]{x y^{2}} + y$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $\sqrt[3]{x y^{2}}$ de $\sqrt[3]{x y^{2}}$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + 0 + \sqrt[3]{y x^{2}} + y$

Étape 2.2.2

Additionnez $x - \sqrt[3]{x^{2} y}$ et $0$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{y x^{2}} + y$

Étape 3

Additionnez $- \sqrt[3]{x^{2} y}$ et $\sqrt[3]{y x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x^{2}$ .

$x - \sqrt[3]{x^{2} y} + \sqrt[3]{x^{2} y} + y$

Étape 3.2

Additionnez $- \sqrt[3]{x^{2} y}$ et $\sqrt[3]{x^{2} y}$ .

$x + 0 + y$

Étape 4

Additionnez $x$ et $0$ .

$x + y$