Ensembles finis Exemples

$(\sqrt{2} + \sqrt{3 i}) (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{3 i}) (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.5

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{3 i})$ .

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Étape 2.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - \sqrt{2 (3 i)} + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i \cdot 2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.8

Multipliez $\sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$ .

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Étape 2.1.8.1

Élevez $\sqrt{3 i}$ à la puissance $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - ({\sqrt{3 i}}^{1} \sqrt{3 i})$

Étape 2.1.8.2

Élevez $\sqrt{3 i}$ à la puissance $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - ({\sqrt{3 i}}^{1} {\sqrt{3 i}}^{1})$

Étape 2.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {\sqrt{3 i}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {\sqrt{3 i}}^{2}$

Étape 2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{2}$ comme $3 i$ .

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Étape 2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 i}$ comme ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{1}$

Étape 2.1.9.5

Simplifiez

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - (3 i)$

Étape 2.1.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - 3 i$

Étape 2.2

Additionnez $- \sqrt{6 i}$ et $\sqrt{6 i}$ .

$2 + 0 - 3 i$

Étape 2.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 - 3 i$