Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{{\sqrt{2 a}}^{2} - \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} - {\sqrt{b}}^{2}} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Élevez $\sqrt{2 a} - \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{2 a} - \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{1}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{1 + 1}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{2}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}^{2}$ comme $(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})$ .

$\frac{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.7

Développez $(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{2 a} - \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.1.2

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2 a}}^{2}$ comme $2 a$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a}$ comme ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.2.5

Simplifiez

$\frac{2 a + \sqrt{2 a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a - \sqrt{2 a} \sqrt{b} - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{b} \sqrt{2 a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Étape 1.8.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6.2

Multipliez $\sqrt{b}$ par $1$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6.3

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6.4

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + {\sqrt{b}}^{2}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 1.8.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + b^{\frac{2}{2}}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + b^{\frac{2}{2}}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + b^{1}}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.1.7.5

Simplifiez

$\frac{2 a - \sqrt{b \cdot 2 a} - \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.2

Soustrayez $\sqrt{2 a b}$ de $- \sqrt{b \cdot 2 a}$ .

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Étape 1.8.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a - \sqrt{2 a b} - \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.8.2.2

Soustrayez $\sqrt{2 a b}$ de $- \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$

Étape 1.9

Multipliez $\frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - (\frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}})$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} - \sqrt{b}}$ par $\frac{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2 a} + \sqrt{b}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{2 a} - \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}$

Étape 1.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a b} - \sqrt{2 a b} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Réécrivez ${\sqrt{2 a}}^{2}$ comme $2 a$ .

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Étape 1.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a}$ comme ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.12.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{{(2 a)}^{1} - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.1.5

Simplifiez

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - {\sqrt{b}}^{2}}$

Étape 1.12.2

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 1.12.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.12.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.12.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.12.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.12.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.12.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b^{1}}$

Étape 1.12.2.5

Simplifiez

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b}$

Étape 1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.13.1

Élevez $\sqrt{2 a} + \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b}$

Étape 1.13.2

Élevez $\sqrt{2 a} + \sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{1}}{2 a - b}$

Étape 1.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{1 + 1}}{2 a - b}$

Étape 1.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2}}{2 a - b}$

Étape 1.14

Réécrivez ${(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2}$ comme $(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b}$

Étape 1.15

Développez $(\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} + \sqrt{b}) + \sqrt{b} (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b}$

Étape 1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} (\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}{2 a - b}$

Étape 1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{\sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.16.1.1

Multipliez $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

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Étape 1.16.1.1.1

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.1.2

Élevez $\sqrt{2 a}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2 a}}^{2}$ comme $2 a$ .

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Étape 1.16.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a}$ comme ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.16.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{{(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.2.5

Simplifiez

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b} \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.5

Multipliez $\sqrt{b} \sqrt{b}$ .

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Étape 1.16.1.5.1

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.5.2

Élevez $\sqrt{b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + {\sqrt{b}}^{2}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{2}$ comme $b$ .

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Étape 1.16.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{b}$ comme $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + b^{\frac{2}{2}}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.16.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + b^{\frac{2}{2}}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + b^{1}}{2 a - b}$

Étape 1.16.1.6.5

Simplifiez

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{b \cdot 2 a} + b}{2 a - b}$

Étape 1.16.2

Additionnez $\sqrt{2 a b}$ et $\sqrt{b \cdot 2 a}$ .

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Étape 1.16.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + \sqrt{2 a b} + \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b}$

Étape 1.16.2.2

Additionnez $\sqrt{2 a b}$ et $\sqrt{2 a b}$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b} - \frac{2 a + 2 \sqrt{2 a b} + b}{2 a - b}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b - (2 a + 2 \sqrt{2 a b} + b)}{2 a - b}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b - (2 a) - (2 \sqrt{2 a b}) - b}{2 a - b}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b - 2 a - (2 \sqrt{2 a b}) - b}{2 a - b}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b - 2 a - 2 \sqrt{2 a b} - b}{2 a - b}$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $2 a - 2 \sqrt{2 a b} + b - 2 a - 2 \sqrt{2 a b} - b$ .

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Étape 4.1.1

Soustrayez $2 a$ de $2 a$ .

$\frac{0 - 2 \sqrt{2 a b} + b - 2 \sqrt{2 a b} - b}{2 a - b}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2 \sqrt{2 a b}$ de $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 a b} + b - 2 \sqrt{2 a b} - b}{2 a - b}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $b$ de $b$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 a b} + 0 - 2 \sqrt{2 a b}}{2 a - b}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 2 \sqrt{2 a b}$ et $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 a b} - 2 \sqrt{2 a b}}{2 a - b}$

Étape 4.2

Soustrayez $2 \sqrt{2 a b}$ de $- 2 \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2 a b}}{2 a - b}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{2 a b}}{2 a - b}$