Ensembles finis Exemples

${(\frac{1}{\sqrt{32}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

${(\frac{1}{\sqrt{16 (2)}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

${(\frac{1}{4 \sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 3.7.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 4

Multipliez $4$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{8})}^{- \frac{2}{5}}$

Étape 5

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

${(\frac{8}{\sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 7.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{2}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (1)})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{4 \sqrt{2}}{1})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 8.2.4

Divisez $4 \sqrt{2}$ par $1$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 9

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$4^{\frac{2}{5}} {\sqrt{2}}^{\frac{2}{5}}$

Étape 10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{\frac{2}{5}}$ comme $\sqrt[5]{2}$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{\frac{2}{5}} {(2^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{5}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{2 \cdot 5}}$

Étape 10.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{10}}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 (1)}{10}}$

Étape 10.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Étape 10.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 10.6

Réécrivez $2^{\frac{1}{5}}$ comme $\sqrt[5]{2}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \sqrt[5]{2}$

Étape 11

Multipliez $4^{\frac{2}{5}} \sqrt[5]{2}$ .

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Étape 11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{2}$ comme $2^{\frac{1}{5}}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 11.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 11.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{2}{5})} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 11.3.2

Multipliez $2 (\frac{2}{5})$ .

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Étape 11.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{5}$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 11.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Étape 11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{4 + 1}{5}}$

Étape 11.6

Additionnez $4$ et $1$ .

$2^{\frac{5}{5}}$

Étape 11.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.7.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{5}{5}}$

Étape 11.7.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1}$

Étape 12

Évaluez l’exposant.

$2$