Ensembles finis Exemples

${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} = 421$

Étape 1

Soustrayez $421$ des deux côtés de l’équation.

${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} - 421$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(- 1 + y)}^{2}$ comme $(- 1 + y) (- 1 + y)$ .

$(- 1 + y) (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(- 1 + y) (- 1 + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 (- 1 + y) + y (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot - 1 - 1 y + y (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot - 1 - 1 y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 1 y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$1 - y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$1 - y - 1 \cdot y + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$1 - y - y + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $421$ de $1$ .

$- 2 y + y^{2} + y^{2} - 420 = 0$

Étape 2.3

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$- 2 y + 2 y^{2} - 420 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y + 2 y^{2} - 420$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$2 (- y) + 2 y^{2} - 420 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (- y) + 2 (y^{2}) - 420 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 420$ .

$2 (- y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 210 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- y + y^{2}) + 2 \cdot - 210 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- y + y^{2}) + 2 \cdot - 210$ .

$2 (- y + y^{2} - 210) = 0$

Étape 3.2

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$2 (- u + u^{2} - 210) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $- u + u^{2} - 210$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 210$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 15, 14$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((u - 15) (u + 14)) = 0$

Étape 3.4

Factorisez.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 ((y - 15) (y + 14)) = 0$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (y - 15) (y + 14) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 15 = 0$

$y + 14 = 0$

Étape 5

Définissez $y - 15$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $y - 15$ égal à $0$ .

$y - 15 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 15$

Étape 6

Définissez $y + 14$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $y + 14$ égal à $0$ .

$y + 14 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 14$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (y - 15) (y + 14) = 0$ vraie.

$y = 15, - 14$