Ensembles finis Exemples

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(x - 2) x$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $2 x + 1$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Étape 3.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.2.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 3.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ vrai.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2 + \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 4.23606797 \dots$