Ensembles finis Exemples

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $5 \ln (8 x)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Étape 2.1.1.3

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Étape 2.1.3

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Étape 2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Étape 3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Étape 4

Réécrivez $\ln (32768 x^{7}) = 20$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $32768 x^{7} = e^{20}$ par $32768$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $32768 x^{7} = e^{20}$ par $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $32768$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Étape 5.4

Simplifiez $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez $e^{20}$ comme ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Factorisez $e^{14}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez $e^{14}$ comme ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Étape 5.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.3.1

Réécrivez $32768$ comme $4^{7} \cdot 2$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $16384$ à partir de $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Étape 5.4.3.1.2

Réécrivez $16384$ comme $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Étape 5.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Étape 5.4.4

Multipliez $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Étape 5.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.5.1

Multipliez $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Étape 5.4.5.2

Déplacez $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Étape 5.4.5.3

Élevez $\sqrt[7]{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Étape 5.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Étape 5.4.5.5

Additionnez $1$ et $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Étape 5.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{2}$ comme $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Étape 5.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Étape 5.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Étape 5.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Étape 5.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Étape 5.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Étape 5.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.6.1

Réécrivez ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ comme $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Étape 5.4.6.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Étape 5.4.6.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Étape 5.4.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Forme décimale :

$x = 3.94254900 \dots$