Ensembles finis Exemples

$3 x^{2} + 2 x - 8 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 4$ plus $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $32$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 8 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 8 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $48$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Vrai

$x > \frac{4}{3}$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Vrai

$x > \frac{4}{3}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- 2, \frac{4}{3})$

Étape 11