Ensembles finis Exemples

$3 - \sqrt{3} + 1 > (3 \sqrt{3} + 2) x$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 3 - \sqrt{3} + 1$

Étape 2

Additionnez $3$ et $1$ .

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ par $3 \sqrt{3} + 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ par $3 \sqrt{3} + 2$ .

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \sqrt{3} + 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ par $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2} \cdot \frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$

Étape 3.3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ par $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{(3 \sqrt{3} + 2) (3 \sqrt{3} - 2)}$

Étape 3.3.3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{9 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Étape 3.3.4

Développez $(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3} - 2) - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Étape 3.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Étape 3.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.3

Multipliez $- \sqrt{3} (3 \sqrt{3})$ .

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Étape 3.3.5.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.5.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.5.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Étape 3.3.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 + 2 \sqrt{3}}{23}$

Étape 3.3.5.2

Additionnez $12 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$x < \frac{- 8 - 9 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Étape 3.3.5.3

Soustrayez $9$ de $- 8$ .

$x < \frac{- 17 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 17$ comme $- 1 (17)$ .

$x < \frac{- 1 (17) + 14 \sqrt{3}}{23}$

Étape 3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $14 \sqrt{3}$ .

$x < \frac{- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})}{23}$

Étape 3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})$ .

$x < \frac{- 1 (17 - 14 \sqrt{3})}{23}$

Étape 3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23})$