Ensembles finis Exemples

$35 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 4^{2}} = 35$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} = 35$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x + 4)}^{2}, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x + 4)}^{2}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ par ${(x + 4)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ par ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x - 1) (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.2

Développez $(2 x - 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez $35 {(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 + 0 + 35 {(x + 4)}^{2}$

Étape 5.1.2

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 ((x + 4) (x + 4))$

Étape 5.1.3

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 5.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 5.1.4.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 5.1.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 8 x + 16)$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 35 (8 x) + 35 \cdot 16$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $8$ par $35$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 35 \cdot 16$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $35$ par $16$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 560$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $35 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} = 280 x + 560$

Étape 5.2.2

Soustrayez $280 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} - 280 x = 560$

Étape 5.2.3

Soustrayez $35 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 33 x^{2} - 5 x + 2 - 280 x = 560$

Étape 5.2.4

Soustrayez $280 x$ de $- 5 x$ .

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 = 560$

Étape 5.3

Soustrayez $560$ des deux côtés de l’équation.

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 - 560 = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $560$ de $2$ .

$- 33 x^{2} - 285 x - 558 = 0$

Étape 5.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.5.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 33 x^{2} - 285 x - 558$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 33 x^{2}$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 285 x - 558 = 0$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $- 285 x$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 558 = 0$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 558$ .

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Étape 5.5.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Étape 5.5.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 (186)$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 x + 186) = 0$

Étape 5.5.2

Factorisez.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 11 \cdot 186 = 2046$ et dont la somme est $b = 95$ .

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Étape 5.5.2.1.1.1

Factorisez $95$ à partir de $95 x$ .

$- 3 (11 x^{2} + 95 (x) + 186) = 0$

Étape 5.5.2.1.1.2

Réécrivez $95$ comme $33$ plus $62$

$- 3 (11 x^{2} + (33 + 62) x + 186) = 0$

Étape 5.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (11 x^{2} + 33 x + 62 x + 186) = 0$

Étape 5.5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 3 ((11 x^{2} + 33 x) + 62 x + 186) = 0$

Étape 5.5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 3 (11 x (x + 3) + 62 (x + 3)) = 0$

Étape 5.5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$- 3 ((x + 3) (11 x + 62)) = 0$

Étape 5.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$

Étape 5.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$11 x + 62 = 0$

Étape 5.7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.8

Définissez $11 x + 62$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $11 x + 62$ égal à $0$ .

$11 x + 62 = 0$

Étape 5.8.2

Résolvez $11 x + 62 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.8.2.1

Soustrayez $62$ des deux côtés de l’équation.

$11 x = - 62$

Étape 5.8.2.2

Divisez chaque terme dans $11 x = - 62$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 5.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x = - 62$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Étape 5.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 5.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Étape 5.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 62}{11}$

Étape 5.8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{62}{11}$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$ vraie.

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Forme décimale :

$x = - 3, - 5.\overline{63}$

Forme de nombre mixte :

$x = - 3, - 5 \frac{7}{11}$