Ensembles finis Exemples

$4 (x^{2} - 16 x + 64) + 9 y^{2} = 36$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot 64 + 9 y^{2} = 36$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$4 x^{2} - 64 x + 4 \cdot 64 + 9 y^{2} = 36$

Étape 1.2.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$4 x^{2} - 64 x + 256 + 9 y^{2} = 36$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 64 x + 256 + 9 y^{2} - 36 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $36$ de $256$ .

$4 x^{2} - 64 x + 9 y^{2} + 220 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 64$ et $c = 9 y^{2} + 220$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{64 \pm \sqrt{{(- 64)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (9 y^{2} + 220))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 64$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 4 \cdot (9 y^{2} + 220)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 16 \cdot (9 y^{2} + 220)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 16 (9 y^{2}) - 16 \cdot 220}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.4

Multipliez $9$ par $- 16$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 144 y^{2} - 16 \cdot 220}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.5

Multipliez $- 16$ par $220$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 144 y^{2} - 3520}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.6

Soustrayez $3520$ de $4096$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{- 144 y^{2} + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $- 144 y^{2} + 576$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $- 144 y^{2} + 576$ .

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Étape 5.1.7.1.1

Factorisez $144$ à partir de $- 144 y^{2}$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2}) + 576}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.1.2

Factorisez $144$ à partir de $576$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2}) + 144 (4)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.1.3

Factorisez $144$ à partir de $144 (- y^{2}) + 144 (4)$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2} + 4)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.3

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $2^{2}$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (2^{2} - y^{2})}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.7.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = y$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.8

Réécrivez $144 (2 + y) (2 - y)$ comme $12^{2} ((2 + y) (2 - y))$ .

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Étape 5.1.8.1

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{12^{2} (2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{12^{2} ((2 + y) (2 - y))}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{8}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{8}$ .

$x = \frac{16 \pm 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{16 + 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$

$x = \frac{16 - 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$