Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5}{x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x - 2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{5}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x - 2}{3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Étape 2.5.4

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 2.5.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 5, - 3$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x = 0$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 2.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $- 0.8\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 1.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $0.625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $0 < x < 5$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Étape 14