Ensembles finis Exemples

$1 + \frac{2}{x} < 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2}{x} < 3 - 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{x} < 2$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x} x = 2 x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 2 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = 2$ .

$2 x = 2$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{2}{x} - 2$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{- 2} < 3$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{0.5} < 3$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $5$ n’est pas inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{2}{4} < 3$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $1.5$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 1$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 0 or x > 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Étape 10