Ensembles finis Exemples

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{3}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{3}$ par $u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $3$ plus $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $2 x^{3} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x^{3} + 3$ égal à $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x^{3} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = - 3$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $- \frac{3}{2}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.2.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 3.2.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.2.4.6.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.2.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.2.4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.2.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.2.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.2.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.2.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.2.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.2.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.2.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.2.4.7.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Étape 3.2.4.8.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Étape 4

Définissez $x^{3} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{3} - 4$ égal à $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{3} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 4$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Forme décimale :

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$