Ensembles finis Exemples

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - b, x - a, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x - b$ est $x - b$ lui-même.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $x - a$ est $x - a$ lui-même.

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $x - b, x - a$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - b) (x - a)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ par $(x - b) (x - a)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ par $(x - b) (x - a)$ .

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - b$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.4.1

Déplacez $a$ .

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $x - a$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Factorisez $x - a$ à partir de $(x - b) (x - a)$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.8.1

Déplacez $b$ .

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.2.1.8.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Développez $(x - b) (x - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

Étape 2.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

Étape 2.3.2.1.5

Multipliez $b$ par $1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

Étape 2.3.4

Supprimez les parenthèses.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $2 x a$ aux deux côtés de l’équation.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2 b a$ des deux côtés de l’équation.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Étape 3.1.3

Additionnez $a x$ et $2 x a$ .

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $a x$ et $2 a x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

Étape 3.2.1.2

Ajoutez $2 b x$ aux deux côtés de l’équation.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $b x$ et $2 b x$ .

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 3 x - 2 b$ et $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez ${(3 x - 2 b)}^{2}$ comme $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.5

Développez $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.7

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.9

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.6.1.9.1

Déplacez $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.1.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.2

Soustrayez $6 b x$ de $- 6 x b$ .

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Étape 3.5.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.6.2.2

Soustrayez $6 b x$ de $- 6 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.9

Simplifiez

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Étape 3.5.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.9.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.9.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.10

Soustrayez $8 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.11

Additionnez $- 12 b x$ et $12 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.12

Additionnez $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ et $0$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.13

Soustrayez $4 b^{2}$ de $4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.14

Additionnez $0$ et $x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.1.15

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ .

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$