Ensembles finis Exemples

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Étape 1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Écrivez $98.6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{98.6}{1}$ par $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{98.6}{1}$ par $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Étape 2.1.4

Écrivez $- 100$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{- 100}{1}$ par $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{- 100}{1}$ par $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $98.6$ par $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.4

Soustrayez $100 t^{2}$ de $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.5

Soustrayez $100$ de $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $0.2$ à partir de $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $0.2$ à partir de $5 t$ .

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $0.2$ à partir de $- 1.4 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $0.2$ à partir de $- 1.4$ .

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6.1.4

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6.1.5

Factorisez $0.2$ à partir de $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ .

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $25 t$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ .

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ comme $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 7$ , $b = - 25$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 25$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $196$ de $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Étape 8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} = - 1$

Étape 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \pm i$

Étape 11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = i$

Étape 11.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - i$

Étape 11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = i, - i$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 0$

Étape 15.1.2

Remplacez $t$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $98.6$ n’est pas supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 2$

Étape 15.2.2

Remplacez $t$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $100.6$ est supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 6$

Étape 15.3.2

Remplacez $t$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $99.4\overline{108}$ n’est pas supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Faux

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Vrai

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Faux

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Faux

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Vrai

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Étape 18