Ensembles finis Exemples

$| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$

Étape 1

Écrivez $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | < 1$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.6

Consolidez les solutions.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.7

Déterminez le domaine de $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} \geq 0$

Étape 1.2.9.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} \geq 0$

Étape 1.2.9.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} \geq 0$

Étape 1.2.9.3.3

Le côté gauche $0.\overline{27}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x \geq 1$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ et déterminez l’intersection avec $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Déterminez le domaine de $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.4.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.4.1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.4.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 1.4.2

Déterminez l’intersection de $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ et $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$

Étape 1.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} < 0$

Étape 1.6

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.6.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.6.4

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.6.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.6.6

Consolidez les solutions.

$x = 1, - \frac{3}{2}$

Étape 1.6.7

Déterminez le domaine de $| \frac{x - 1}{2 x + 3} | - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.6.7.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.6.7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.6.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.6.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 1.6.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.6.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.6.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 0$

Étape 1.6.9.1.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.6.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 0$

Étape 1.6.9.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.6.9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 1}{2 (4) + 3} < 0$

Étape 1.6.9.3.3

Le côté gauche $0.\overline{27}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{2}$ Faux

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - \frac{3}{2}$ Faux

$- \frac{3}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 1.6.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Étape 1.7

Dans la partie où $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$

Étape 1.8

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ et déterminez l’intersection avec $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 1.8.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 1.8.1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.8.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.8.1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.8.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 1.8.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 1.8.2

Déterminez l’intersection de $- \frac{3}{2} < x < 1$ et $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$ .

$- \frac{3}{2} < x < 1$

Étape 1.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & x < - \frac{3}{2} or x \geq 1 \\ - \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1 & - \frac{3}{2} < x < 1 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ quand $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $\frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez $\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 1 \cdot 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x - 1 - 2 x - 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.4.4

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 1 - 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.4.5

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{- x - 4}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.6

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.8

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 4}{2 x + 3} < 0$

Étape 2.1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 4 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.1.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.1.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 2.1.6

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4$

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.8

Consolidez les solutions.

$x = - 4, - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.9

Déterminez le domaine de $- \frac{x + 4}{2 x + 3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 4}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 2.1.9.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 2.1.9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.1.9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 2.1.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$

$x > - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.1.11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) - 1}{2 (- 6) + 3} < 1$

Étape 2.1.11.1.3

Le côté gauche $0.\overline{7}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.1.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.1.11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 3) - 1}{2 (- 3) + 3} < 1$

Étape 2.1.11.2.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.1.11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Étape 2.1.11.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.1.11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Faux

$x > - \frac{3}{2}$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - \frac{3}{2}$ Faux

$x > - \frac{3}{2}$ Vrai

Étape 2.1.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > - \frac{3}{2}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < - 4 or x > - \frac{3}{2}$ et $x < - \frac{3}{2} or x \geq 1$ .

$x < - 4$ ou $x \geq 1$

Étape 3

Résolvez $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ quand $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $- \frac{x - 1}{2 x + 3} < 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 < 0$

Étape 3.1.2

Simplifiez $- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1$ .

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Étape 3.1.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} - 1 \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$- \frac{x - 1}{2 x + 3} + \frac{- (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (x - 1) - (2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x - 1) - (2 x + 3)$ .

$\frac{- (x - 1 + 2 x + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.4.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{- (3 x - 1 + 3)}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.4.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{- (3 x + 2)}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x + 2}{2 x + 3} < 0$

Étape 3.1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Étape 3.1.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 3.1.5

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.1.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 3.1.7

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3.1.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3.1.9

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Étape 3.1.10

Déterminez le domaine de $- \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ .

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Étape 3.1.10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 3 = 0$

Étape 3.1.10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1.10.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 3.1.10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.1.10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3.1.10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, \infty)$

Étape 3.1.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Étape 3.1.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.1.12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{(- 4) - 1}{2 (- 4) + 3} < 1$

Étape 3.1.12.1.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 3.1.12.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{(- 1) - 1}{2 (- 1) + 3} < 1$

Étape 3.1.12.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.1.12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.1.12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{(0) - 1}{2 (0) + 3} < 1$

Étape 3.1.12.3.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$x > - \frac{2}{3}$ Vrai

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$x > - \frac{2}{3}$ Vrai

Étape 3.1.13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < - \frac{3}{2} or x > - \frac{2}{3}$ et $- \frac{3}{2} < x < 1$ .

$- \frac{2}{3} < x < 1$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 4$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 4 or x > - \frac{2}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Étape 6