Ensembles finis Exemples

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 2.79128784$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Étape 9.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Étape 9.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Étape 9.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 1.79128784$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 1.79128784$ comme $- 1 (1.79128784)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Étape 12

La solution à $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ est $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Étape 13

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 6$

Étape 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Étape 15

Simplifiez $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Étape 15.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Étape 15.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Étape 15.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Étape 16

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 16.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{6}$

Étape 16.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{6}$

Étape 16.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 17

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 18

Consolidez les solutions.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Étape 19

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Étape 20

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 20.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2.79128784}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 20.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{2.79128784}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 20.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Étape 20.1.3

Le côté gauche $- 10.6\overline{81}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 20.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 20.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 20.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Étape 20.2.3

Le côté gauche $0.8\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 20.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{2.79128784}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 20.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{2.79128784}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 20.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Étape 20.3.3

Le côté gauche $- 10.6\overline{81}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 20.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Vrai

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Faux

$x > \sqrt{2.79128784}$ Vrai

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Vrai

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Faux

$x > \sqrt{2.79128784}$ Vrai

Étape 21

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ ou $x > \sqrt{2.79128784}$

Étape 22

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Étape 23