Ensembles finis Exemples

$- x^{2} + 14 x - 48 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 14 x - 48 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 14 x - 48$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 14 x - 48 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $14 x$ .

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 48 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 1 \cdot 48 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 14 x)$ .

$- (x^{2} - 14 x) - 1 \cdot 48 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 14 x) - 1 (48)$ .

$- (x^{2} - 14 x + 48) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} - 14 x + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 8, - 6$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 8) (x - 6)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 8) (x - 6) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 8) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 8, 6$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} + 14 (0) - 48 > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 48$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 7$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(7)}^{2} + 14 (7) - 48 > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(10)}^{2} + 14 (10) - 48 > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 8$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 6$ Faux

$6 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < 6$ Faux

$6 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$6 < x < 8$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$6 < x < 8$

Notation d’intervalle :

$(6, 8)$

Étape 11