Ensembles finis Exemples

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 10.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.3

Associez les fractions.

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Étape 10.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 10.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 13.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 13.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 13.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 13.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 13.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 13.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 13.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 13.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 13.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 13.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 13.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 13.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 13.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $0.49732533$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Faux

Étape 16

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution