Ensembles finis Exemples

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

Étape 1.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

Étape 1.3

Multipliez $27$ par $7$ .

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$9^{2} = 189 x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $189 x^{2} = 9^{2}$ .

$189 x^{2} = 9^{2}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $189 x^{2} = 9^{2}$ par $189$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $189 x^{2} = 9^{2}$ par $189$ .

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $189$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x^{2} = \frac{81}{189}$

Étape 3.2.3.2

Annulez le facteur commun à $81$ et $189$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.2.1

Factorisez $27$ à partir de $189$ .

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Étape 3.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

Étape 3.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{3}{7}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 3.4.3.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 3.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 3.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 3.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

Forme décimale :

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$