Ensembles finis Exemples

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Étape 1.3.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$\log (x + 1) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (x + 1) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x + 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x + 1 = 10^{1}$ .

$x + 1 = 10$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = 10 - 1$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$x = 9$