Ensembles finis Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.1.5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 1.1.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.5

Réécrivez $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 1.1.5.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.5.2

Réorganisez les termes.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.5.5.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun à $- \sin (x) + 1$ et $1 - \sin (x)$ .

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Étape 1.1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sec (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1$

Étape 6

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$