Ensembles finis Exemples

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $47$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $47$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Vrai

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Faux

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Vrai

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Vrai

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Faux

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ ou $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 10