Ensembles finis Exemples

$\frac{4 z^{6} + 7 x^{3} - 65}{z^{3}} = 0$

Étape 1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 z^{6} + 7 x^{3} - 65 = 0$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1.1

Soustrayez $7 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 z^{6} - 65 = - 7 x^{3}$

Étape 2.1.2

Ajoutez $65$ aux deux côtés de l’équation.

$4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$ par $4$ .

$\frac{4 z^{6}}{4} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 z^{6}}{4} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $z^{6}$ par $1$ .

$z^{6} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$z^{6} = - \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt[6]{- \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{- \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}}$ .

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Étape 2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \pm \sqrt[6]{\frac{- 7 x^{3} + 65}{4}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\sqrt[6]{\frac{- 7 x^{3} + 65}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{4}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{2^{2}}}$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $\sqrt[6]{2^{2}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt{2^{2}}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 2.4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 2.4.5.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 2.4.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 2.4.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 2.4.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 2.4.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 2.4.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.4.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.4.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 2.4.6.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 2.4.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 2.4.7.1.2

Réécrivez $4^{\frac{1}{3}}$ comme $4^{\frac{2}{6}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \cdot 4^{\frac{2}{6}}}{2}$

Étape 2.4.7.1.3

Réécrivez $4^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{4^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[6]{4^{2}}}{2}$

Étape 2.4.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 4^{2}}}{2}$

Étape 2.4.7.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 16}}{2}$

Étape 2.4.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 16}}{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$