Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Étape 2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x - 7 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.26315789$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{428571}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $1.625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Faux

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

$x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Faux

$x > \frac{7}{3}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{3}{2}$ ou $x > \frac{7}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 13