Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & y \\ 60 - 64 & 4 \\ 65 - 69 & 7 \\ 70 - 74 & 12 \\ 75 - 79 & 16 \\ 80 - 84 & 15 \\ 85 - 89 & 6 \end{array}$

Étape 1

Déterminez le point médian $M$ pour chaque groupe.

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Étape 1.1

La limite inférieure pour chaque classe est la valeur la plus basse de cette classe. La limite supérieure pour chaque classe est la valeur la plus élevée de cette classe.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 \end{array}$

Étape 1.2

Le point médian de la classe est la limite de classe inférieure plus la limite de classe supérieure divisée par $2$ .

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & \frac{60 + 64}{2} \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & \frac{65 + 69}{2} \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & \frac{70 + 74}{2} \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & \frac{75 + 79}{2} \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & \frac{80 + 84}{2} \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & \frac{85 + 89}{2} \end{array}$

Étape 1.3

Simplifiez toute la colonne du point médian.

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & 87 \end{array}$

Étape 1.4

Ajoutez la colonne des points médians au tableau d’origine.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Étape 2

Calculez le carré de chaque point médian du groupe $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 62^{2} \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 67^{2} \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 72^{2} \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 77^{2} \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 82^{2} \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 87^{2} \end{array}$

Étape 3

Simplifiez la colonne $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 \end{array}$

Étape 4

Multipliez chaque point médian au carré par sa fréquence $f$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 4 \cdot 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 7 \cdot 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 12 \cdot 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 16 \cdot 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 15 \cdot 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 6 \cdot 7569 \end{array}$

Étape 5

Simplifiez la colonne $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 15376 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 31423 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 62208 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 94864 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 100860 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 45414 \end{array}$

Étape 6

Déterminez la somme de toutes les fréquences. Dans ce cas, la somme de toutes les fréquences est $n = 4, 7, 12, 16, 15, 6 = 60$ .

$\sum_{}^{} f = n = 60$

Étape 7

Déterminez la somme de la colonne $f \cdot M^{2}$ . Dans ce cas, $15376 + 31423 + 62208 + 94864 + 100860 + 45414 = 350145$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 350145$

Étape 8

Déterminer la moyenne $μ$ .

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Étape 8.1

Déterminez le point médian $M$ pour chaque classe.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

Étape 8.2

Multipliez la fréquence de chaque classe par le point médian de la classe.

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 4 \cdot 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 7 \cdot 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 12 \cdot 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 16 \cdot 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 15 \cdot 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 6 \cdot 87 \end{array}$

Étape 8.3

Simplifiez la colonne $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 248 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 469 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 864 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 1232 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 1230 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 522 \end{array}$

Étape 8.4

Ajoutez les valeurs dans la colonne $f \cdot M$ .

$248 + 469 + 864 + 1232 + 1230 + 522 = 4565$

Étape 8.5

Ajoutez les valeurs dans la colonne de fréquence.

$n = 4 + 7 + 12 + 16 + 15 + 6 = 60$

Étape 8.6

La moyenne (mu) est la somme de $f \cdot M$ divisée par $n$ , qui est la somme des fréquences.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Étape 8.7

La moyenne est la somme du produit des points médians et fréquences divisée par le total des fréquences.

$μ = \frac{4565}{60}$

Étape 8.8

Simplifiez le côté droit de $μ = \frac{4565}{60}$ .

$76.08\overline{3}$

Étape 9

L’équation correspondant à l’écart-type est $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Étape 10

Remplacez les valeurs calculées dans $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$

Étape 11

Simplifiez le côté droit de $S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$ pour obtenir la variance $S^{2} = 47.87429378$ .

$47.87429378$