Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 9 & 29 & 5 & 17 \\ 4 & 13 & 5 & - 1 \\ 1 & 3 & - 5 & 9 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 4 & 13 & 5 & - 1 \\ 1 & 3 & - 5 & 9 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 4 & 13 & 5 & - 1 \\ 1 & 3 & - 5 & 9 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 13 - 4 (\frac{29}{9}) & 5 - 4 (\frac{5}{9}) & - 1 - 4 (\frac{17}{9}) \\ 1 & 3 & - 5 & 9 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & \frac{1}{9} & \frac{25}{9} & - \frac{77}{9} \\ 1 & 3 & - 5 & 9 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & \frac{1}{9} & \frac{25}{9} & - \frac{77}{9} \\ 1 - 1 & 3 - \frac{29}{9} & - 5 - \frac{5}{9} & 9 - \frac{17}{9} \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & \frac{1}{9} & \frac{25}{9} & - \frac{77}{9} \\ 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{50}{9} & \frac{64}{9} \end{array}]$

Étape 1.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $9$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $9$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 9 \cdot 0 & 9 (\frac{1}{9}) & 9 (\frac{25}{9}) & 9 (- \frac{77}{9}) \\ 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{50}{9} & \frac{64}{9} \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & - 77 \\ 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{50}{9} & \frac{64}{9} \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{9} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{9} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & - 77 \\ 0 + \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \cdot 1 & - \frac{50}{9} + \frac{2}{9} \cdot 25 & \frac{64}{9} + \frac{2}{9} \cdot - 77 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & - 77 \\ 0 & 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Étape 1.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & - 77 \\ - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot - 10 \end{array}]$

Étape 1.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & - 77 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 77 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 77 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 + 77 \cdot 0 & 1 + 77 \cdot 0 & 25 + 77 \cdot 0 & - 77 + 77 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & \frac{17}{9} \\ 0 & 1 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{17}{9} R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{17}{9} R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{17}{9} \cdot 0 & \frac{29}{9} - \frac{17}{9} \cdot 0 & \frac{5}{9} - \frac{17}{9} \cdot 0 & \frac{17}{9} - \frac{17}{9} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{29}{9} & \frac{5}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{29}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{29}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{29}{9} \cdot 0 & \frac{29}{9} - \frac{29}{9} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{29}{9} \cdot 25 & 0 - \frac{29}{9} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 80 & 0 \\ 0 & 1 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{22},$ and $a_{34}$

Pivot Columns: $1, 2,$ and $4$