Ensembles finis Exemples

Trouver le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée x^2+y^2+8x+2y+8=0
Étape 1
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 2
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.1.2
Multipliez par .
Étape 3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.4.1
Multipliez par .
Étape 3.1.4.2
Multipliez par .
Étape 3.1.5
Soustrayez de .
Étape 3.1.6
Réécrivez en forme factorisée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.6.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.6.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.2
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.6.2.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.6.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.1.6.2.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 3.1.6.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.1.6.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.6.2.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 3.1.6.2.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 3.1.6.2.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 3.1.7
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.7.1
Réécrivez comme .
Étape 3.1.7.2
Ajoutez des parenthèses.
Étape 3.1.8
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Simplifiez .
Étape 4
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Multipliez par .
Étape 4.1.4.2
Multipliez par .
Étape 4.1.5
Soustrayez de .
Étape 4.1.6
Réécrivez en forme factorisée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.6.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.6.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.2
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.6.2.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.6.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.6.2.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 4.1.6.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.6.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.6.2.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 4.1.6.2.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 4.1.6.2.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 4.1.7
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.7.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.7.2
Ajoutez des parenthèses.
Étape 4.1.8
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 4.2
Multipliez par .
Étape 4.3
Simplifiez .
Étape 4.4
Remplacez le par .
Étape 5
Simplifiez l’expression pour résoudre la partie du .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.4.1
Multipliez par .
Étape 5.1.4.2
Multipliez par .
Étape 5.1.5
Soustrayez de .
Étape 5.1.6
Réécrivez en forme factorisée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.6.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.6.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.2
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.6.2.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.6.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.6.2.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 5.1.6.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.6.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.6.2.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 5.1.6.2.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 5.1.6.2.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 5.1.7
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.7.1
Réécrivez comme .
Étape 5.1.7.2
Ajoutez des parenthèses.
Étape 5.1.8
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 5.2
Multipliez par .
Étape 5.3
Simplifiez .
Étape 5.4
Remplacez le par .
Étape 6
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.
Étape 7
Définissez le radicande dans supérieur ou égal à pour déterminer où l’expression est définie.
Étape 8
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 8.2
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1
Définissez égal à .
Étape 8.2.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 8.2.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 8.2.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 8.2.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 8.2.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 8.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.3.1
Définissez égal à .
Étape 8.3.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 8.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 8.5
Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.
Étape 8.6
Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.6.1
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.6.1.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.1.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.1.3
Le côté gauche est inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
False
False
Étape 8.6.2
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.6.2.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.2.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.2.3
Le côté gauche est supérieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.
True
True
Étape 8.6.3
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.6.3.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.3.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 8.6.3.3
Le côté gauche est inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
False
False
Étape 8.6.4
Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.
Faux
Vrai
Faux
Faux
Vrai
Faux
Étape 8.7
La solution se compose de tous les intervalles vrais.
Étape 9
Le domaine est l’ensemble des valeurs de qui rendent l’expression définie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 10
La plage est l’ensemble de toutes les valeurs valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 11
Déterminez le domaine et la plage.
Domaine :
Plage :
Étape 12