Ensembles finis Exemples

$x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 8 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = x^{2} + 8 x + 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1$ plus $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4 (- x - 1) (x + 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ et dont la somme est $b = - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1$ plus $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4 (- x - 1) (x + 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 1 + \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 8 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 32 x - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $32$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 32 x - 28$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 32 x - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 8 x) + 4 (- 7)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ et dont la somme est $b = - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 8 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1$ plus $- 7$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 1 - 7) x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 1 x - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 1 x) - 7 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 1) + 7 (- x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- x - 1) (x + 7)$ comme $2^{2} ((- x - 1) (x + 7))$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 1) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 1 - \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 1 + \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

$y = - 1 - \sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- x - 1) (x + 7)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- x - 1) (x + 7) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 8.2

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ .

$- x - 1 = 0$

Étape 8.2.2

Résolvez $- x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 1$

Étape 8.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Étape 8.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - 1$

Étape 8.3

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 8.3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- x - 1) (x + 7) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, - 7$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 10) - 1) ((- 10) + 7) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (- 4) - 1) ((- 4) + 7) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- (0) - 1) ((0) + 7) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 7$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 7 \leq x \leq - 1$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 7, - 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 7 \leq x \leq - 1}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 2]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 4 \leq y \leq 2}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 7, - 1], {x | - 7 \leq x \leq - 1}$

Plage : $[- 4, 2], {y | - 4 \leq y \leq 2}$

Étape 12