Ensembles finis Exemples

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = x

$a = x$ et

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Définissez le radicande dans

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ supérieur ou égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

Étape 4

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez

4

$4$ des deux côtés de l’inégalité.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ par

- 1

$- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ par

- 1

$- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez

x

$x$ par

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

Étape 5

Définissez le radicande dans

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ supérieur ou égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Étape 6

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Définissez

x + 3

$x + 3$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez

x + 3

$x + 3$ égal à

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez

3

$3$ des deux côtés de l’équation.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Étape 6.3

Définissez

x - 3

$x - 3$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez

x - 3

$x - 3$ égal à

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ vraie.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle

x < - 3

$x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x < - 3

$x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = - 6

$x = - 6$

Étape 6.6.1.2

Remplacez

x

$x$ par

- 6

$- 6$ dans l’inégalité d’origine.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche

27

$27$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 0

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez

x

$x$ par

0

$0$ dans l’inégalité d’origine.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche

- 9

$- 9$ est inférieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle

x > 3

$x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x > 3

$x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 6

$x = 6$

Étape 6.6.3.2

Remplacez

x

$x$ par

6

$6$ dans l’inégalité d’origine.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche

27

$27$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

x < - 3

$x < - 3$ Vrai

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Faux

x > 3

$x > 3$ Vrai

x < - 3

$x < - 3$ Vrai

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ Faux

x > 3

$x > 3$ Vrai

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ ou

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ ou

x \geq 3

$x \geq 3$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

x

$x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Étape 8

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs

y

$y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Aucune solution

Étape 9

Déterminez le domaine et la plage.

Aucune solution

Étape 10