Ensembles finis Exemples

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 - x \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 4$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x \leq 4$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 3$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

Étape 8

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Aucune solution

Étape 9

Déterminez le domaine et la plage.

Aucune solution

Étape 10