Ensembles finis Exemples

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{12 + x - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$12 + x - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$12 + x - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $12 + x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - 3$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 18$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x \leq 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 3, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \frac{7}{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

Plage : $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

Étape 6